Неодномерные нелинейные волны в реальных средах с дисперсией

Группа	Научная литература
Название на русском языке	Неодномерные нелинейные волны в реальных средах с дисперсией
Авторы на русском языке	Белашов В.Ю.
Название на английском языке	Multidimensional nonlinear waves in real dispersive media
Авторы на английском языке	Belashov V.Yu.
Вид издания на русском языке	монография
Издательство на русском языке	Казань: КГЭУ, 2002. - 149 с.

Резюме

В последние годы в различных областях физики активно развивается перспективное направление, связанное с исследованием нелинейных явлений и процессов, при этом переход от линейности к нелинейности есть вполне закономерный этап в развитии любого раздела физики, обусловленный необходимостью учета все более тонких деталей наблюдаемых явлений.

В системах, описываемых волновыми уравнениями, нелинейность, т.е. зависимость поведения волнового пакета от его амплитуды, генерируя гармоники с большими волновыми числами, усиливает диссипацию волновых пакетов. Если при этом в системе имеется дисперсия, определяемая как зависимость групповой скорости от волнового числа, то она, перемешивая фазы, подавляет этот процесс. В результате при равных затратах энергии уровень колебаний в диспергирующей среде значительно выше, чем в недиспергирующей. При этом на некоторых ветвях колебаний между нелинейными и дисперсионными эффектами может устанавливаться равновесие и возникают нелинейные волны и солитоны. Под солитонами обычно понимают локализованные в пространстве стационарные (локально), устойчивые во взаимодействиях образования. Они представляют собой фундаментальные структуры нелинейных волновых процессов с дисперсией и играют важную роль в широком спектре областей, относящихся к физике сплошных сред.

Разнообразие процессов, которые необходимо принимать во внимание при теоретическом изучении явлений в физических средах с дисперсией, приводит к тому, что даже гидродинамические модели в достаточно полной формулировке описываются сложными системами нелинейных уравнений в частных производных. В этом плане решающее влияние на развитие теории нелинейных волн оказала идея Кортевега и де Вриза, суть которой состоит в возможности значительного упрощения исходных уравнений без потери основных особенностей описываемых ими явлений путем сохранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.

Впервые такое упрощенное (модельное) уравнение было получено для волн на “мелкой” воде Кортевегом и де Вризом в 1895 г, однако сам термин “солитон” был введен лишь в 1965 г. американскими теоретиками H.Забуски и M.Крускалом, которые показали, что уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) обладает “скрытно линейными свойствами”: допускает решения в виде стационарных уединенных волн - солитонов. Позже оказалось, что уравнение КдВ описывает широкий класс одномерных нелинейных физических систем с “действительной” дисперсией и помимо гидродинамики встречается в физике плазмы, магнитогидродинамике, теории решеток и т.д., в этом смысле оно является универсальным. Если средам присущи вязкость и теплопроводность, то дисперсия является “мнимой” и подход, предложенный Кортевегом и де Вризом, приводит к уравнению Бюргерса, решения которого хорошо описывают такие, например, нестационарные процессы, как образование ударных волн.

В 1970 г. было получено двумерное обобщение уравнения КдВ, названное по имени авторов уравнением Кадомцева-Петвиашвили (КП) и позднее обобщенное на трехмерный случай. Уравнение КП описывает волновую динамику двумерных и трехмерных систем с нелинейностью гидродинамического типа в различных диспергирующих средах и обладает той же степенью универсальности, что и уравнение КдВ. При этом если прогресс в изучении структуры и эволюции одномерных солитонов и волновых пакетов был в значительной степени обусловлен открытием замечательного свойства уравнения КдВ - скрытой алгебраической симметрии, приводящей к его интегрируемости с помощью метода обратной задачи рассеяния (ОЗР) для вспомогательного линейного оператора Штурма-Лиувилля, то развитие теории неодномерных нелинейных волн и солитонов связано в равной степени как с построением неодномерных обобщений метода ОЗР, так и с развитием аппарата достаточно “тонких” высокопроизводительных методов численного интегрирования такого рода систем и проведения на их основе множества вычислительных экспериментов.

В настоящее время издано достаточно много литературы, посвященной теории неодномерных нелинейных эволюционных уравнений и, в частности, уравнения КП. Однако абсолютное большинство известных автору публикаций - журнальные и освещают в той или иной степени лишь отдельные аспекты теории уравнения КП. Кроме того, на наш взгляд, при довольно большом количестве работ по математической теории неодномерных солитонов серьезная монографическая литература по теории уравнения КП, и особенно по его приложениям в различных физических средах, практически отсутствует, что по-прежнему оставляет уравнение КП и его неодномерные решения в ряду неких “экзотических объектов” для специалистов в конкретных предметных областях. Еще одной причиной наблюдающегося разрыва между уровнем развития теории и степенью ее востребованности широким физическим сообществом является, на наш взгляд то, что построенная к настоящему времени теория уравнения КП относится главным образом лишь к весьма идеализированной модели и не учитывает множества факторов, играющих часто важную роль в физике конкретных сред. Сюда, к примеру, можно отнести эффекты, обусловленные диссипацией, процессы, приводящие к нарастанию неустойчивости и образованию сложных турбулентных структур, дисперсионные эффекты высшего порядка, воздействие на эволюцию волновых пакетов внешних стохастических колебаний соответствующего поля и т.п.

Аналогичная ситуация наблюдается и для других физических систем, описываемых, например, уравнениями класса DNLS, описывающими распространение альфвеновских волн в замагниченной плазме. Здесь также, несмотря на то, что рядом авторов в последние годы решены вопросы устойчивости и временной эволюции решений в одномерном приближении, вопрос о нелинейной динамике решений 3-мерных уравнений этого класса до сих пор остается открытым и фундаментальные работы по приложениям, включая эффекты развития неустойчивости самофокусировочного типа, приводящей к коллапсу, и переход в турбулентный режим, практически отсутствуют.

Автор надеется, что предыдущей книгой ему в некоторой степени удалось заполнить этот своеобразный вакуум в отношении моделей, описываемых уравнениями класса КП. В настоящей книге, учитывая большой интерес физиков, специализирующихся в конкретных предметных областях, расширен круг рассматриваемых приложений модели обобщенного уравнения КП, в частности, достаточно большое внимание уделено рассмотрению динамики нелинейных волн в средах с переменной дисперсией, и подробно изучаются вопросы, связанные с основами теории уравнений класса 3-DNLS и приложениями данной модели в физике плазмы.

Монография адресована главным образом специалистам в таких предметных областях, как физика плазмы (включая плазму ионосферы и магнитосферы), гидро- и аэродинамика. Автор также надеется, что книга будет интересна и полезна аспирантам и студентам соответствующих специальностей.

Несколько слов о структуре изложения материала. Книга состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения.

В первой главе выведены двумерное и трехмерное уравнения КП (§1) и уравнение 3-DNLS (§3) в безразмерном виде и форме, удобной для дальнейшего исследования. Уравнение КП получено из полной системы классических уравнений газодинамики, записанных для некоторых обобщенных величин - “плотности” и скорости “звука”, смысл которых зависит от класса изучаемых явлений и поясняется по мере изложения. Далее, безотносительно к типу среды, строятся решения в виде одномерного и двумерного солитонов КП и приводится анализ их устойчивости. Таким образом, в главе последовательно проводится идея универсальности уравнения КП и инвариантности формы его решений для сред различных типов. Затем уравнение КП в его классической форме обобщается путем введения дисперсионной поправки следующего порядка и членов, описывающих диссипацию вязкостного типа, неустойчивость и стохастические флуктуации волнового поля, и далее, путем масштабных преобразований, приводится к виду, упрощающему последующий анализ. В завершение §1 рассматриваются основные подходы к численному интегрированию “классического” уравнения КП, использовавшиеся при получении его стационарных неодномерных решений, и кратко обсуждаются их достоинства и недостатки. В § 3 из полной системы уравнений одножидкостной магнитогидродинамики получено трехмерное уравнение DNLS (уравнение 3-DNLS) и, в одномерном приближении, рассмотрен подход к его аналитическому интегрированию методом ОЗР и приведены результаты анализа устойчивости одномерных решений в терминах знака первого интеграла движения. Затем проводится обобщение уравнения 3-DNLS введением диссипативного члена и уравнение путем преобразований подобия приводится к безразмерному виду, удобному для дальнейшего анализа. В завершение па-раграфа рассматривается один из весьма эффективных методов численного интегрирования уравнения DNLS в одномерном приближении и обсуждается его применимость к моделированию динамики трехмерных решений. В §§ 2, 4 показано, что в случае пренебрежения диссипативными эффектами в отсутствие неустойчивости и стохастических флуктуаций волнового поля для обобщенного уравнения КП (уравнение ОКП)] основные уравнения являются гамильтоновскими. На основе трансформационных свойств гамильтониана произведены оценки устойчивости решений уравнения ОКП в двумерной и трехмерной геометрии (§ 2) и уравнения 3-DNLS в трехмерной геометрии (§ 4) для всего диапазона изменения коэффициентов.

В главах 2-4 монографии рассматриваются приложения полученных результатов к исследованию: а) распространения нелинейных ионно-звуковых волн в плазме без магнитного поля с учетом релятивистских эффектов; динамики трехмерных БМЗ и альфвеновских волн в замагниченной плазме (глава 2); б) динамики двумерных уединенных нелинейных ВГВ, генерируемых на высотах F-области ионосферы фронтами солнечного терминатора и солнечного затмения, а также сейсмическими источниками, и возбуждении ими перемещающихся возмущений электронной концентрации (глава 3); в) эволюции двумерных солитонов гравитационных и гравитационно-капиллярных волн на поверхности “мелкой” жидкости при изменяющемся во времени и пространстве рельефе дна.

В заключении приводится формулировка и обсуждение основных результатов, приведенных в книге. В приложении исследовано алгебраическое уравнение четвертой степени (вещественность, знаки, границы областей определения корней), возникающее при анализе существования экстремумов гамильтониана уравнения ОКП в главе 1.

В заключение следует отметить, что эта книга, как и предыдущая, является развитием идей В.И. Петвиашвили в области соответствующих аспектов теории неодномерных солитонов, предпринятые подходы и значительная часть представленных здесь результатов во многом есть следствие наших интенсивных дискуссий.

Автор благодарен своим коллегам в области нелинейной физики: О.А.Похотелову (ОИФЗ РАН), Y.H.Ichikawa (NIFS, Nagoya), Е.М.Маслову и С.А.Пулинцу (ИЗМИРАН), Ю.А.Степанянцу (ИПФ РАН), M.Hayakawa (Univ. of Electro-Сommunications, Tokyo), общение и дискуссии с которыми, несомненно, повлияли на содержание этой книги.

Работа была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 01-02-16116).

Abstract

This monograph is devoted to the applications of the theory of 2D and 3D solitons, described by the generalized Kadomtsev-Petviashvili (KP) equations with due account of the high order dispersion correction and term describing dissipation in medium, and also the derivative nonlinear Schrödinger (3-DNLS) equation, to physics of the media with real dispersion. This is representation of the elements of the theory of the equations of dynamics in the long-wavelength approximation and investigation of stability of multidimensional solutions. The results of computer study of the structure and dynamics of 2D and 3D solitons and nonlinear wave packets in applications to the plasma physics (including space plasma, and ionospheric and magnetospheric plasma) and hydrodynamics are considered.

The book is recommended for physicians and mathematicians working in different science fields, graduate and post-graduate students of universities.

This book is written under partial financial support of the Russian Foundation for Basic Researches (grant N 01-02-16116).

Издание "Неодномерные нелинейные волны в реальных средах с дисперсией" (Белашов В.Ю.) отмечено наградой
МЕДАЛЬ «ЗА ВЕРНОСТЬ ТРАДИЦИЯМ ОТЕЧЕСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ» С УДОСТОВЕРЕНИЕМ

Оформление наградных документов и заказ каталога