Юбилейная XLV Международная выставка-презентация
научной, учебно-методической и художественной литературы

Солитоны как математические и физические объекты


ГруппаНаучная литература
Область науки
Естественные науки
Название на русском языкеСолитоны как математические и физические объекты
Авторы на русском языкеБелашова Е.С., Белашов В.Ю.
Название на английском языкеSolitons as mathematical and physical objects
Авторы на английском языкеBelashova E.S., Belashov V.Yu.
Вид издания на русском языкемонография
Издательство на русском языкеКазань: КГЭУ, 2006. - 205 с.

Резюме

В последние десятилетия в различных областях физики продолжает активно развиваться направление, связанное с исследованием нелинейных явлений и процессов. Переход от линейности к нелинейности, при этом, представляет собой вполне закономерный этап, обусловленный необходимостью учета все более тонких деталей наблюдаемых явлений.

В физических системах, описываемых уравнениями волнового типа, нелинейность (т.е. зависимость поведения волнового пакета от его амплитуды), генерируя гармоники с большими волновыми числами, усиливает диссипацию. Если при этом в системе имеется дисперсия, определяемая как зависимость групповой скорости от волнового числа, то она, перемешивая фазы, подавляет этот процесс. В результате при равных затратах энергии уровень колебаний в диспергирующей среде значительно выше, чем в недиспергирующей. При этом на некоторых ветвях колебаний между нелинейными и дисперсионными эффектами может устанавливаться равновесие, и возникают нелинейные волны и солитоны. Под солитонами обычно понимают локализованные в пространстве стационарные (локально), устойчивые во взаимодействиях образования. Они представляют собой фундаментальные структуры нелинейных волновых процессов с дисперсией и играют важную роль в широком спектре областей, относящихся к физике сплошных сред.

Разнообразие процессов, которые необходимо принимать во внимание при теоретическом изучении явлений в физических средах с дисперсией, приводит к тому, что даже гидродинамические модели в достаточно полной формулировке описываются сложными системами нелинейных уравнений в частных производных. В этом плане решающее влияние на развитие теории нелинейных волн оказала идея Кортевега и де Вриза, суть которой состоит в возможности значительного упрощения исходных уравнений без потери основных особенностей описываемых ими явлений путем сохранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.

Впервые такое упрощенное (модельное) уравнение было получено для волн на «мелкой» воде Кортевегом и де Вризом в 1895 г., однако сам термин «солитон» был введен лишь в 1965 г. американскими теоретиками H. Забуски и M. Крускалом, которые показали, что уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) обладает «скрытно линейными свойствами»: допускает решения в виде стационарных уединенных волн - солитонов. Позже оказалось, что уравнение КдВ описывает широкий класс одномерных нелинейных физических систем с «действительной» дисперсией и помимо гидродинамики встречается в физике плазмы, физике верхней атмосферы и гидросферы, магнитогидродинамике, теории решеток и т.д., в этом смысле оно является универсальным. Если средам присущи вязкость и теплопроводность, то дисперсия является «мнимой» и подход, предложенный Кортевегом и де Вризом, приводит к уравнению Бюргерса, решения которого хорошо описывают такие, например, нестационарные процессы, как образование ударных волн.

В 1970 г. Б.Б. Кадомцевым и В.И. Петвиашвили было получено двумерное обобщение уравнения КдВ, названное по имени авторов (уравнение КП) и позднее обобщенное на трехмерный случай. Уравнение КП описывает волновую динамику двумерных и трехмерных систем с нелинейностью гидродинамического типа в различных диспергирующих средах и обладает той же степенью универсальности, что и уравнение КдВ. При этом если прогресс в изучении структуры и эволюции одномерных солитонов и волновых пакетов был в значительной степени обусловлен открытием замечательного свойства уравнения КдВ - скрытой алгебраической симметрии, приводящей к его интегрируемости с помощью метода обратной задачи рассеяния (ОЗР), то развитие теории неодномерных нелинейных волн и солитонов связано в равной степени как с построением неодномерных обобщений метода ОЗР, так и с развитием мощного аппарата достаточно «тонких» высокопроизводительных методов численного интегрирования такого рода систем и проведения на их основе множества вычислительных экспериментов.

Аналогичная ситуация имеет место и для систем, описываемых уравнениями класса DNLS (уравнениями Шредингера с производной нелинейного члена). Если одномерное уравнение DNLS вполне успешно интегрируется методом ОЗР, то его неодномерные обобщения приходится интегрировать численно, используя достаточно сложные вычислительные алгоритмы.

К настоящему времени издано достаточно много литературы, посвященной теории нелинейных эволюционных уравнений и, в частности, уравнений классов КдВ и DNLS. До 1997 года абсолютное большинство этих публикаций имело журнальный характер (за исключением литературы, посвященной «классическому» уравнению КдВ) и освещало в той или иной степени лишь отдельные аспекты теории уравнений этих классов. Кроме того, на наш взгляд, при довольно большом количестве работ по математической теории одномерных и неодномерных солитонов серьезная монографическая литература по теории уравнений КП и DNLS, и особенно по их приложениям в различных физических средах, практически отсутствовала, что оставляло эти уравнения и их неодномерные решения в ряду неких «экзотических объектов» для специалистов в конкретных предметных областях. Еще одной причиной наблюдавшегося в последние годы разрыва между уровнем развития теории и степенью ее востребованности широким физическим сообществом являлось, на наш взгляд то, что построенные к концу 90-х годов теории уравнений КП- и DNLS-классов относились, главным образом, лишь к весьма идеализированным моделям и не учитывали множества факторов, играющих часто важную роль в физике конкретных сред. Сюда, к примеру, можно отнести эффекты, обусловленные диссипацией, процессы, приводящие к нарастанию неустойчивости и образованию сложных турбулентных структур, дисперсионные эффекты высшего порядка, воздействие на эволюцию волновых пакетов внешних стохастических колебаний соответствующего поля и т.п.

Дабы в некоторой степени заполнить этот своеобразный вакуум, во второй половине 90-х годов мы задумали написать своеобразную серию книг, касающихся как теоретических аспектов неодномерных «солитонных» уравнений, методов их аналитического и численного исследования, так и, главным образом, приложений этих моделей в физике конкретных сред с дисперсией. Первой в этой серии была издана в 1997 г. книга по теории двумерных и трехмерных уравнений КП-класса «Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения», а в 2002 г. нами была выпущена монография «Неодномерные нелинейные волны в реальных средах с дисперсией». Неким обобщением наших исследований в этой области (включающим также необходимый реферативный материал) явилась изданная в 2005 г. в издательстве Шпрингер-Верлаг монография «Solitary Waves in Dispersive Complex Media. Theory, Simulation, Applications». Эти книги, однако, будучи рассчитанными на подготовленного читателя, знакомого с теорией одномерных уравнений КдВ- и DNLS-классов, методами их аналитического (ОЗР) и численного интегрирования, оказались, как показала наша практика работы в ряде российских и зарубежных университетов, во многом слишком сложными для использования изложенного в них материала неспециалистами в данной предметной области и студентами. Это и послужило для нас своеобразным мотивом к написанию данной книги, которая, являясь вполне самостоятельным изданием, может также рассматриваться как вводный материал к изучению вопросов, рассматриваемых в наших предыдущих монографиях.

В настоящей книге авторы естественно не претендуют на исчерпывающее изложение теории рассматриваемых уравнений (и особенно ее современного состояния) в силу продолжающегося интенсивного развития и адресуют ее главным образом специалистам в таких предметных областях, как физика плазмы (включая плазму ионосферы и магнитосферы), физика атмосферы и гидросферы, гидро- и аэродинамика. Авторы также надеются, что книга будет интересна математикам - специалистам в области современной вычислительной математики и математической физики, аспирантам и студентам соответствующих специальностей.

Особо следует отметить, что большое влияние на содержание этой книги оказали идеи В.И. Карпмана и В.И. Петвиашвили, с которыми один из авторов сотрудничал в 1985-1991 гг.

Авторы благодарны своим коллегам в области нелинейной физики, физики плазмы, а также физики атмосферы и гидросферы: С.В. Владимирову (Univ. of Sydney), Y.H. Ichikawa (NIFS, Nagoya), Е.М. Маслову и М.Г. Дёминову (ИЗМИРАН), А.Н. Фахрутдиновой (КГУ), Е.Н. Пелиновскому (ИПФ РАН), M. Hayakawa (Univ. of Electro-Сommunications, Tokyo), общение и дискуссии с которыми, несомненно, повлияли на содержание этой книги.

Некоторые исследования, результаты которых представлены в книге, были частично поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 01-02-16116).


Abstract

This monograph is devoted to a one of the most interesting topics of modern nonlinear physics and mathematics, i.e. the theory and numerical simulation of structure and dynamics of solitons which are described by the Korteweg-de Vries and Kadomtsev-Petviashvili class’s equations and also the derivative nonlinear Schrodinger (DNLS) equation. This is consistent representation of the both early known and original results, and also the generalization of the teaching experience of the authors in university lecturing special courses on theory and numerical simulation of the nonlinear waves and solitons dynamics in dispersive media developed by them. On a level with detail consideration of pure theoretical aspects, special attention is paid to the applications of the theory in different fields of modern physics including plasma physics, hydrodynamics and physics of the upper atmosphere.

The book is recommended for physicians and mathematicians working in different science fields, graduate and post-graduate students of universities.

This book is written under partial financial support of the Russian Foundation for Basic Researches (grant N 01-02-16116).

Комментарии

Издание "Солитоны как математические и физические объекты" (Белашова Е.С., Белашов В.Ю.) отмечено юбилейной наградой (25 лет Российской Академии Естествознания)
ОРДЕНОМ "PRIMUS INTER PARES - ПЕРВЫЙ СРЕДИ РАВНЫХ"