Юбилейная XLV Международная выставка-презентация
научной, учебно-методической и художественной литературы

ЭЛЕМЕНТЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ЧАСТЬ I: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ОБЩАЯ АЛГЕБРА


ГруппаУчебная литература
Область науки
Естественные науки
Название на русском языкеЭЛЕМЕНТЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ЧАСТЬ I: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ОБЩАЯ АЛГЕБРА
Авторы на русском языкеГоликова Е.А.

Резюме

Представляемое учебное пособие подготовлено на основе курса лекций «Дискретная математика», который читается в физико-технологическом институте и в институте радиотехнических и информационных технологий Уральского федерального университета для специальностей направления прикладная математика и направления математическое обеспечение и администрирование информационных систем. В соответствии с действующими ФГОС, программа курса содержит следующие разделы: теория множеств, математическая логика, общая алгебра, шифры, коды, теория гр афов. Эти темы условно можно разделить на теоретические (первые три) и приложения (последние три). Выбирая последовательность изложения «от общего к частному», т. е. дедуктивный способ рассуждения, можно расположить изучение теоретических разделов в первой половине курса. Такой порядок изложения обоснован также с той точки зрения, что математическая логика и теория множеств – это язык математики. Поскольку предмет «Дискретная математика» читается на втором курсе, наработанная на первом курсе математическая культура, состоящая из багажа понятий и способов рассуждений, позволяет использовать их как примеры для последующих обобщений, которые являются предметом изучения логики, теории множеств и общей алгебры. Тем не менее теоретические разделы, которые характеризуются более высоким уровнем абстракции, вызывают у студентов наибольшие затруднения. В этой связи, автору представляется важным изложить абстрактный материал, подкрепляя его максимальным числом примеров. Таким образом, пособие представляет собой первую часть изложения курса «Дискретная математика»: математическая логика и общая алгебра. Вторая часть, соответственно, должна быть посвящена шифрам, кодам, графам. Изучение, например, теории кодов требует знания теории расширения полей, изучение гр афов основано на теории бинарных отношений и т. д. Проработка математического языка дает возможность изучать многие приложения, выходя за рамки самых простых алгоритмов. Заметим, что знание гр афовых алгоритмов и приложений теории булевых функций для вычислительных специальностей является профессионально необходимым. Поэтому часто изложение такого рода алгоритмических задач бывает упрощенно-локальным и выглядит как последовательность некоторых шагов. Однако, как обоснование известных алгоритмов так и создание новых не может существовать без знания математического фундамента. Проработке такого фундамента и посвящено пособие.

Работа состоит из двух гл ав: «Множества, высказывания, отношения» и «Алгебраические структуры». Несмотря на то, что понятие универсальной алгебры является основным для второй гл авы, в первой гл аве им тоже приходится оперировать. По сути дела, все параграфы первого раздела посвящены примерам универсальной алгебры. Поскольку, одной из целей пособия является формирование способности студентов к обобщению, созданию абстрактных понятий, общее определение универсальной алгебры вынесено во введение. Это определение, как часть математического языка, используется уже в первом разделе. Приведем фрагмент оглавления первой гл авы:

Глава 1. Множества, высказывания, отношения

1.1 Множества

1.1.1. Множество, подмножество, элемент

1.1.2. Мощность множества

1.2 Высказывания

1.2.1. Алгебра высказываний

1.2.2. Предикаты

1.2.3. Формулы логики высказываний

1.2.4. Логическое следование

1.3 Булевы функции

1.4 Отношения

Уже из оглавления видно, что изучаются различные алгебры: алгебра множеств, алгебра высказываний; аналогично: алгебра булевых функций, алгебра отношений. Таким образом, студенты подводятся к восприятию теории универсальных алгебр. Этому посвящена вторая гл ава, состоящая из четырех разделов, которые делятся на параграфы:

Глава 2. Алгебраические структуры

2.1. Универсальные алгебры

2.1.1. Алгебраические операции, определение алгебры

2.1.2. Некоторые классические алгебры

2.1.3. Гомоморфизмы

2.1.4. Конгруэнции

2.2. Булевы алгебры

2.3. Группы

2.4. Поля

Вторая гл ава посвящена некоторым классическим алгебрам: булевы алгебры, группы, поля. Изучение этих объектов го товит студентов к изложению некоторых приложений например, к теории кодов. Однако эти разделы являются традиционно сложными для восприятия учащимися. Причина заключается в том, что с одной стороны, количество часов на весь курс недостаточно (32 часа), а с дру гой – студенты инженерных специальностей, как правило, больше ориентированы на изучение приложений математики, чем на изучение ее фундаментальных определений и теорем. В данном случае, на примере курса «Дискретная математика», появляется возможность устранить подобный «экспериментально-теоретический» разрыв. Для этого в начале курса студентам предлагается схема курса, содержащая все его разделы. В этой схеме раздел «Коды» является последним по очереди изучения и соединен с соответствующими параграфами раздела «Общая алгебра». При таком подходе в качестве цели изучения «чистой» математики можно предложить понимание прикладного раздела, актуального для современных программистов. Таким образом, в курсе «Дискретная математика» присутствуют как разделы «чистой», так и разделы «прикладной» математики. Путь от изучения абстрактных понятий до их применения в прикладном аспекте является вполне обозримым. В этой ситуации возможно мотивировать студентов к изучению непростых математических теорий, которые непосредственно применяются в приложениях.

В пособии приводится несколько примеров при введении каждого нового понятия, разбирается достаточное количество задач, текст снабжен схемами и таблицами. Работа выполнена в виде электронного издания. Текст снабжен активными ги перссылками. Издание доступно в интернете как электронный образовательный ресурс УрФУ (http://study.urfu.ru/Aid/ViewMeta/13623 ).

Разделам курса «Шифры», «Коды», «Графы», которые отнесены к приложениям, будет посвящена вторая часть пособия.

Комментарии

Издание "ЭЛЕМЕНТЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ЧАСТЬ I: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ОБЩАЯ АЛГЕБРА" (Голикова Е.А.) отмечено юбилейной наградой (25 лет Российской Академии Естествознания)
ОРДЕНОМ "PRIMUS INTER PARES - ПЕРВЫЙ СРЕДИ РАВНЫХ"