XLVII международная выставка-презентация
научных, технических, учебно-методических и литературно-художественных изданий

Исследование свойств численных методов с помощью вычислительного эксперимента


ГруппаУчебная литература
Название на русском языкеИсследование свойств численных методов с помощью вычислительного эксперимента
Авторы на русском языкеЖитников В.П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С., Зарипов А.А.
Название на английском языкеThe investigation of the numerical methods properties using a computational experiment
Авторы на английском языкеZhitnikov V.P., Sherykhalina N.M., Porechny S.S., Zaripov A.A.
Вид издания на русском языкеУчебное пособие
Издательство на русском языкеУфа: Редакционно-издательский комплекс УГАТУ, 2019. – 282 с.

Резюме

В известных учебниках и монографиях по численным методам внимание в большей степени уделяется доказательству сходимости приближенных решений к точному без учета ограниченности ресурсов реального компьютера. Очень малое внимание уделяется оценке погрешностей, связанных с округлением чисел, хранящихся в машинном формате. Поэтому в данном пособии особое внимание уделяется не рассмотрению большого числа задач и методов, а приемам анализа результатов вычислительного эксперимента и методам практической оценки погрешностей.

В свое время «изобретение» иррационального числа имело глобальное значение для дальнейшего развития математики. Понятия предела, производной и интеграла остаются основой современной математики. Невозможно представить нашу цивилизацию без авиации, космонавтики, высоких технологий, развитие которых не могло бы иметь места без математического моделирования, базирующегося на дифференциальном и интегральном исчислении.

Эти виртуальные объекты и понятия стали настолько естественными, «реальными» не только для «чистого» математика, но и для любого исследователя, имеющего дело с математическими моделями, что идеальность, противоестественность этих объектов и понятий виртуальной реальности часто забывается.

Ограниченность ресурсов (по времени, памяти, разрядности и надежности), с которой приходится сталкиваться любому, кто применяет для исследований реальные приборы и технику, входит в противоречие с этой идеальностью. На самом деле число p можно только вообразить, поскольку для записи его бесконечного количества цифр нужно бесконечное время, бесконечная память, бесконечная разрядность сопроцессора (чтобы иметь возможность производить арифметические операции) и идеальная надежность (чтобы не ошибиться в записи цифр). Итак, в реальности не существует ни иррациональных чисел, ни пределов, ни производных, ни интегралов.

Но необходимо заметить, что не существует только абсолютно точных, идеальных величин. Приближенно можно представить и практически получить буквально все.

В этом и состоит разрешение парадокса: в отказе от идеальности.

При этом приобретаются огромные возможности: использование компьютера, решение очень сложных задач, причем даже в реальном масштабе времени (моделирование процессов во время их исполнения).

Каковы же потери? Неточность, приближенность получаемых результатов не противоречит практическим потребностям, поскольку все используемые в реальных вычислениях числа имеют свои допуска, пределы возможной неточности. Поэтому точное знание используемых чисел для практических целей и не нужно.

Расплатой за приобретенные возможности также является появление новой реальности – погрешности, которой не было при точном решении задачи.

Следует особо отметить, что ограниченность ресурсов не учитывается при применении аппарата математического анализа для доказательства сходимости приближенного решения к точному. Поэтому, с одной стороны, имеется идеальный процесс, рассматриваемый с точки зрения математики, а с другой – конечный набор чисел, соответствующий, например, увеличивающемуся количеству узлов сетки. Эта конечная последовательность может иметь свойства, существенно отличающиеся от бесконечной. Поэтому, несмотря на имеющееся математическое описание идеального процесса, необходимо проверять, как ведет себя реальный вычислительный процесс. Именно на это делается акцент в данном пособии.

В пособии предлагается метод исследования поведения конечных последовательностей численных результатов, полученных при различных числах узлов сетки путем фильтрации этих результатов.

При фильтрации требуется априорное знание характера зависимости результата расчетов от числа узлов (или математической модели погрешности), например, в виде суммы степенных или показательных функций.

Решение задачи численной фильтрации предполагает последовательное устранение степенных или показательных слагаемых суммы при сохранении значения искомой константы.

В пособии описаны базовые численные методы и применены методы практической оценки погрешности на основе многокомпонентного анализа конечной последовательности вычисленных значений. Основное внимание уделено проблеме повышения надежности и точности результатов вычислений.

При решении задач конечноразностными методами обычно рассматривают два вида погрешностей: теоретическую погрешность конечноразностной аппроксимации и погрешность округления. Эти погрешности также исследованы и в данном пособии. Однако для решения различных задач, важных для практики, применяются итерационные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений. При этом возникает третий вид погрешности, вызванный неточностью решения системы уравнений. При решении нестационарных задач эта погрешность накапливается на каждом временном шаге. При решении краевых задач для уравнения Лапласа и бигармонического уравнения итерационные методы удобно применять в связи с большой размерностью матриц и их разреженностью. В связи с этим исследование этого третьего вида погрешности также представляет большой интерес.

При анализе численных методов были обнаружены труднообъяснимые эффекты: превращение случайной погрешности в закономерную или восстановление «потерянной» информации.

Пособие предназначено для студентов, изучающих численные методы, методы оценки погрешностей, а также может быть полезно преподавателям и научным работникам, специализирующимся в области вычислительной математики.

Комментарии

Издание "Исследование свойств численных методов с помощью вычислительного эксперимента" (Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С., Зарипов А.А.) отмечено наградой
ОРДЕНОМ «АЛЕКСАНДР ВЕЛИКИЙ» С УДОСТОВЕРЕНИЕМ ЛАУРЕАТА