Теория функций действительного переменного

Группа	Учебная литература
Название на русском языке	Теория функций действительного переменного
Авторы на русском языке	Далингер В.А., Симонженков С.Д.
Вид издания на русском языке	Учебник и практикум. 2-е изд.
Издательство на русском языке	ООО «Амфора», 2010. - 124 с.

Резюме

Данное учебное пособие предназначено для студентов математических специальностей педвузов. Некоторые разделы вполне доступны для учащихся классов и школ математического профиля в качестве элективного курса. Пособие не содержит систематического и доказательного изложения материала, зато авторы, соблюдая принцип историзма, стремились детально осветить основные понятия.

Курс теории функций действительного переменного (ТФДП) программы педвуза призван вооружить будущего учителя математики строгими обоснованиями изученного ранее курса математического анализа, сообщить ему ряд сведений, относящихся к современным представлениям о множестве, числе, функции, интеграле. На математическом факультете ОмГПУ эта дисциплина излагается на 4-ом курсе. Поэтому от читателя предполагается владение основными понятиями анализа (пределы, свойства непрерывных функций, производные, интегралы, ряды).

Основанием для построения ТФДП является теория бесконечных множеств, поэтому изложение материала начинается с их теории, развитой Г. Кантором. Затем выясняется структура открытых и замкнутых множеств на прямой. Рассматриваются некоторые классы функций действительного переменного: непрерывные, монотонные, функции ограниченной вариации. Важным добавлением к свойствам непрерывных на отрезке функций (ограниченность, теорема о нуле и т.д.) является теорема Вейерштрасса о приближении многочленами как следствие теоремы о приближении на единичном отрезке многочленами Бернштейна. Более углубленно, чем в стандартных курсах анализа, рассматривается вопрос о связи непрерывности с дифференцируемостью – разбирается пример везде непрерывной на числовой оси и нигде не дифференцируемой функции («пила» Ван-дер-Вардена). Выясняется природа точек разрыва монотонной на отрезке функции. Доказывается характеристическое свойство функции ограниченной вариации на отрезке – теорема Жордана о представимости ее в виде разности двух возрастающих функций. Обсуждается равносильность двух понятий спрямляемости дуги кривой, приводится критерий спрямляемости. Далее излагаются основы теории меры по Жордану как исторически первой, хотя и недостаточной, теории меры. Затем рассматривается сжатая лебеговская теория меры множеств на прямой и свойства измеримых функций. Напоминается схема построения интеграла Римана на языке интегральных сумм Римана и Дарбу, доказывается критерий Лебега интегрируемости по Риману. В заключение рассматривается интеграл Лебега, его свойства и связь с интегралом Римана.

Книга содержит следующие разделы:

1. Теория множеств по Кантору
2. Непрерывные функции
3. Монотонные функции
4. Функции ограниченной вариации
5. Элементы теории меры
6. Измеримые функции
7. Интеграл Лебега
8. Решения задач

К каждому разделу прилагается небольшая подборка задач. В конце пособия приведены их краткие решения, персоналии и список литературы.

Издание "Теория функций действительного переменного" (Далингер В.А., Симонженков С.Д.) отмечено наградой
МЕДАЛЬ «ЗА ВЕРНОСТЬ ТРАДИЦИЯМ ОТЕЧЕСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ» С УДОСТОВЕРЕНИЕМ

Оформление наградных документов и заказ каталога