XLVIII международная выставка-презентация
научных, технических, учебно-методических и литературно-художественных изданий

Линейная алгебра и ее приложения


ГруппаУчебная литература
Название на русском языкеЛинейная алгебра и ее приложения
Авторы на русском языкеЗолотаревская Дина Исааковна
Название на английском языкеLinear algebra and its Applications
Авторы на английском языкеZolotarevskaya Dina Isaakovna
Вид издания на русском языкеучебное пособиеj
Издательство на русском языкеМ.: Издательство "Перо", 2019, - 256 с.

Резюме

Линейная алгебра представляет собой один из важнейших разделов современной математики. Линейная алгебра применяется в математическом анализе, аналитической геометрии,  теории вероятностей, теоретической физике и в других науках, а также при решении целого ряда практических задач.

         Настоящее учебное пособие включает все вопросы линейной алгебры, входящие в учебные программы по дисциплинам «Высшая математика» и «Математика» для студентов, обучающихся по экономическим, инженерным, биологическим, сельскохозяйственным и ряду других специальностей вузов. В книге рассматриваются весьма важные темы линейной алгебры: матрицы, определители, системы линейных уравнений, системы линейных неравенств с двумя переменными, n – мерные векторы и n – мерные векторные пространства.

        Книга содержит оглавление, введение, 4 главы, заключение, ответы к задачам из контрольных заданий, заключение, список литературы. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается подробными решениями разнообразных примеров различной трудности. В каждой главе имеются контрольные задания, которые предлагаются студентам для самостоятельной работы.

         Объяснения теоретического материала и решений рассмотренных примеров даны в понятной студентам форме. Подробно рассмотренные решения примеров позволят студентам лучше усвоить линейную алгебру и приобрести навыки самостоятельного изучения предмета.

        При вычислении определителей различных порядков, при нахождении ранга матрицы, обратной матрицы, при решении систем линейных уравнений применяются свойства определителей и матриц.  Использование этих свойств значительно упрощает выполнение расчетов. При проведении практических занятий в вузах и при выполнении студентами домашних заданий по темам линейной алгебры расчеты чаще всего выполняются без применения компьютеров («вручную»). В некоторых случаях расчеты делают на компьютерах. Обучение выполнению расчетов на компьютерах весьма важно. Однако при изучении линейной алгебры студенты должны понять и усвоить изучаемые вопросы линейной алгебры, свойства определителей и матриц, сущность применяемых методов расчета. Выполнение расчетов на компьютерах не требует понимания этих вопросов и поэтому не позволяет усвоить их.

         Подробные объяснения изучаемых вопросов, сопровождающиеся в данном учебном пособии выполнением необходимых расчетов вручную, способствует более глубокому пониманию студентами изучаемого материала. 

         Однако при самостоятельном решении задач на практических занятиях в случае решения одной и той же задачи разные студенты на разных этапах решения чаще всего применяют не одинаковые свойства определителей и матриц. Поэтому одни студенты находят решение быстрее, а другие – медленнее. Кроме того, правильный ответ разные студенты находят в результате выполнения различных промежуточных операций. Поэтому преподавателю довольно трудно быстро проверить правильность решений, выполненных разными студентами.

        В связи с этим появляется потребность разработать алгоритмы вычисления определителей, нахождения обратной матрицы, ранга матрицы, решения системы линейных уравнений, применение которых позволяет делать одинаковые вычисления всем студентам группы при решении одной и той же задачи.

        В линейном программировании всегда применяются такие алгоритмы для выполнения вычислений на компьютере. В основе этих алгоритмов лежит «правило прямоугольника» [1].  В компьютерных расчетах при решении одной конкретной задачи нужно с начала до конца решения применять один определенный неизменяемый алгоритм. При выполнении расчетов без использования компьютеров применение одного определенного правила преобразования элементов исходной матрицы в элементы другой матрицы, эквивалентной исходной, и использование одного и того же свойства матриц на каждом шаге решения не является обязательным. Такие разные способы выполнения расчетов в разных шагах решения одной задачи предложены в работе [2].                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

       Пусть дана матрица A= ( ). В этой матрице  элемент, расположенный в iой строке и  j – ом столбце ( i = 1, 2,…, m),  (j = 1, 2,…, n), где m число строк, n – число столбцов матрицы  Решения рассмотрены при различных соотношениях между m и n:  при m<n, m>n, m=n.

        В данном учебном пособии сформулированы алгоритмы нахождения ранга матрицы, обратной матрицы, решения системы m линейных уравнений с n неизвестными (при m<n, m>n, m=n), вычисления определителей разных порядков методом последовательных исключений (методом Гаусса) с применением «правила прямоугольника». Применения этих алгоритмов значительно упрощает выполнение расчетов без использования компьютеров (на аудиторных занятиях и при самостоятельной работе студентов). Даны подробные обоснования предлагаемых алгоритмов. Эти обоснования позволяют понять сущность всех преобразований, которые приводят к сформулированным алгоритмам.

      В главах 1 – 3 дан теоретический материал по рассматриваемым темам линейной алгебры. В главе 4 приведены составленные автором задачи прикладного характера. Эти задачи позволят студентам познакомиться с некоторыми приложениями линейной алгебры в экономике, линейном программировании, в математическом анализе, теории вероятностей, химии, при решении инженерных и других практических задач. В четвертой главе рассмотрена линейная балансовая модель и ее применение в экономике. Применение линейных балансовых моделей проиллюстрировано на примерах составления и решения моделей межотраслевого баланса. Приведены числовые примеры составления и решения задач межотраслевого баланса в двухотраслевой и в трехотраслевой экономических системах.

       При составлении многих задач четвертой главы автором использованы экспериментальные данные, опубликованные в научной литературе.

      Предназначено для студентов вузов, обучающихся по экономическим, биологическим, инженерным и ряду других специальностей. Данное учебное пособие могут использовать студенты, изучающие линейную алгебру при различном количестве учебных часов, отводимых на содержащиеся в нем темы в программах по математике. Рассмотренный в пособии материал, не входящий в учебные программы студентов, обучающихся с небольшим числом учебных часов, отводимых на содержащиеся в нем темы в программах по математике, может быть опущен студентами без ущерба для понимания других включенных в это учебное пособие вопросов. Книга может быть полезна и преподавателям вузов.   

                  Список литературы

  1. Калихман И. Л. Линейная алгебра и программирование. М.: Высшая школа. 1967. 424 с.
  2. Золотаревская Д. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Ленанд. 2016. 504 с.

 

Комментарии

Издание "Линейная алгебра и ее приложения" (Золотаревская Дина Исааковна) отмечено наградой
ОРДЕНОМ «АЛЕКСАНДР ВЕЛИКИЙ» С УДОСТОВЕРЕНИЕМ ЛАУРЕАТА