L международная выставка-презентация
научных, технических, учебно-методических и литературно-художественных изданий
Линейная алгебра. Задачи с решениями
| Группа | Учебная литература |
|---|---|
| Название на русском языке | Линейная алгебра. Задачи с решениями |
| Авторы на русском языке | Золотаревская Д.И. |
| Название на английском языке | Linear algebra. Problems with solutions |
| Авторы на английском языке | Zolotarevskaya D.I. |
| Вид издания на русском языке | учебное пособие |
| Издательство на русском языке | М.: Издательство "Спутник +", 2018. - 223 с. |
Резюме
Линейная алгебра представляет собой один из важнейших разделов современной математики. Линейная алгебра применяется в математическом анализе, аналитической геометрии, теории вероятностей, теоретической физике и в других науках, а также при решении целого ряда практических задач.
Настоящее учебное пособие включает все вопросы линейной алгебры, входящие в учебные программы по дисциплинам «Высшая математика» и «Математика» для студентов, обучающихся по экономическим, инженерным, биологическим, сельскохозяйственным и ряду других специальностей вузов. В книге рассматриваются весьма важные темы линейной алгебры: матрицы, определители, системы линейных уравнений, системы линейных неравенств с двумя переменными, n – мерные векторы и n – мерные векторные пространства.
Книга содержит оглавление, введение, 4 главы, ответы к задачам, включенным в контрольные задания, список литературы. В каждой главе приведены теоретические сведения, носящие справочный характер, и типовые задачи с подробно разобранными решениями. Всего в книге приведено 140 задач и решений к ним. К задачам, связанным с геометрическими построениями, даны иллюстрации, отражающие результаты полученных решений. В каждой главе имеются задачи, которые могут быть использованы для составления контрольных заданий для студентов, а также для самостоятельного решения студентами с целью проверки, насколько хорошо усвоены изученные вопросы.
Объяснения решений рассмотренных примеров даны в понятной студентам форме. Подробно рассмотренные решения примеров позволят студентам лучше усвоить линейную алгебру и приобрести навыки самостоятельного изучения предмета.
При вычислении определителей различных порядков, при нахождении ранга матрицы, обратной матрицы, при решении систем линейных уравнений применяются свойства определителей и матриц. Использование этих свойств значительно упрощает выполнение расчетов. При проведении практических занятий в вузах и при выполнении студентами домашних заданий по темам линейной алгебры расчеты чаще всего выполняются без применения компьютеров («вручную»). В некоторых случаях расчеты делают на компьютерах. Обучение выполнению расчетов на компьютерах весьма важно. Однако при изучении линейной алгебры студенты должны понять и усвоить изучаемые вопросы линейной алгебры, свойства определителей и матриц, сущность применяемых методов расчета. Выполнение расчетов на компьютерах не требует понимания этих вопросов и поэтому не позволяет усвоить их.
Подробные объяснения изучаемых вопросов, сопровождающиеся в данном учебном пособии выполнением необходимых расчетов вручную, способствует более глубокому пониманию студентами изучаемого материала.
Однако при самостоятельном решении задач на практических занятиях в случае решения одной и той же задачи разные студенты на разных этапах решения чаще всего применяют не одинаковые свойства определителей и матриц. Поэтому одни студенты находят решение быстрее, а другие – медленнее. Кроме того, правильный ответ разные студенты находят в результате выполнения различных промежуточных операций. Поэтому преподавателю довольно трудно быстро проверить правильность решений, выполненных разными студентами.
В связи с этим появляется потребность разработать алгоритмы вычисления определителей, нахождения обратной матрицы, ранга матрицы, решения системы линейных уравнений, применение которых позволяет делать одинаковые вычисления всем студентам группы при решении одной и той же задачи.
В линейном программировании всегда применяются такие алгоритмы для выполнения вычислений на компьютере. В основе этих алгоритмов лежит «правило прямоугольника» [1]. В компьютерных расчетах при решении одной конкретной задачи нужно с начала до конца решения применять один определенный неизменяемый алгоритм. При выполнении расчетов без использования компьютеров применение одного определенного правила преобразования элементов исходной матрицы в элементы другой матрицы, эквивалентной исходной, и использование одного и того же свойства матриц на каждом шаге решения не является обязательным. Такие разные способы выполнения расчетов в разных шагах решения одной задачи предложены в работе [2].
Пусть дана матрица A= (). В этой матрице элемент, расположенный в i – ой строке и j – ом столбце ( i = 1, 2,…, m), (j = 1, 2,…, n), где m – число строк, n – число столбцов матрицы Решения рассмотрены при различных соотношениях между m и n: при m<n, m>n, m=n.
В данном учебном пособии сформулированы алгоритмы решения ряда основных задач: нахождения ранга матрицы, обратной матрицы, решения системы m линейных уравнений с n неизвестными (при m<n, m>n, m=n), вычисления определителей разных порядков методом последовательных исключений (методом Гаусса) с применением «правила прямоугольника». Применения этих алгоритмов значительно упрощает и ускоряет выполнение расчетов в тех случаях, когда расчеты проводятся без использования компьютеров (на аудиторных занятиях и при самостоятельной работе студентов). Даны подробные обоснования предлагаемых алгоритмов. Эти обоснования позволяют понять сущность всех преобразований, которые приводят к сформулированным алгоритмам.
В главе 4 приведены составленные автором задачи прикладного характера и решения этих задач. Эти задачи позволят студентам познакомиться с некоторыми приложениями линейной алгебры в экономике, линейном и нелинейном программировании, в математическом анализе, теории вероятностей, при решении некоторых инженерных и других практических задач. В четвертой главе рассмотрена линейная балансовая модель и ее применение в экономике. Применение линейных балансовых моделей проиллюстрировано на примерах составления и решения моделей межотраслевого баланса. Приведены числовые примеры составления и решения задач межотраслевого баланса в двухотраслевой и в трехотраслевой экономических системах.
При составлении многих задач четвертой главы автором использованы экспериментальные данные, опубликованные в научной литературе.
Предназначено для студентов вузов, обучающихся по экономическим, биологическим, инженерным, сельскохозяйственным и ряду других специальностей. Данное учебное пособие могут использовать студенты, изучающие линейную алгебру при различном количестве учебных часов, отводимых на содержащиеся в нем темы в программах по математике. Рассмотренный в пособии материал, не входящий в учебные программы студентов, обучающихся с небольшим числом учебных часов, отводимых на содержащиеся в нем темы в программах по математике, может быть опущен студентами без ущерба для понимания других включенных в это учебное пособие вопросов. Книга может быть полезна и преподавателям вузов.
МЕДАЛЬ «ЗА ВЕРНОСТЬ ТРАДИЦИЯМ ОТЕЧЕСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ» С УДОСТОВЕРЕНИЕМ