L международная выставка-презентация
научных, технических, учебно-методических и литературно-художественных изданий
Конечно-разностное регуляризованное решение обратных задач гиперболического типа
| Группа | Научная литература |
|---|---|
| Область науки | Технические науки |
| Название на русском языке | Конечно-разностное регуляризованное решение обратных задач гиперболического типа |
| Авторы на русском языке | Сатыбаев А.Дж. |
| Вид издания на русском языке | Монография |
| Издательство на русском языке | Ош: ОшОблТипография, 2001. - 143 с. |
Резюме
Актуальность. Обратные задачи уравнений гиперболического типа возникают в прикладных задачах математического моделирования, физики и техники, геофизики (сейсмической, электромагнитной и гравитационной разведки полезных ископаемых), астрофизики, квантовой механики, акустики, геоэлектрики и др. и относятся к некорректным задачам. Обратные задачи относятся к некорректным задачам и решение некорректных задач требуют особых методов решения. Основы теории некорректных задач заложены А.Н. Тихоновым, М.М. Лаврентьевым и В. К. Ивановым.
Характерная особенность обратных задач состоит в некорректности, т.е. в нарушении одного из следующих условий: существование, единственность и устойчивость решения. Существование решения обратных задач вытекает из происхождения физического процесса, в связи с этим обычно обосновываются единственность и, особенно, устойчивость решений таких задач.
Восстановление происхождения волновых процессов является одной из важных практических задач. Такие проблемы возникают в сейсмике, геофизике, геоэлектрике, астрофизике, компьютерной томографии и других прикладных задачах.
Например, в геофизике по данным режима волновых процессов свободной поверхности требуется найти внутреннее строение среды, т.е. параметры упругих сред; в сейсмике – по показаниям сейсмограмм нужно определить скорость распространения волн, плотность среды, упругие параметры; в акустике – по фиксированным акустическим приборам необходимо установить плотность тела; в геоэлектрике по наблюдениям за компонентами электромагнитного поля на границе требуется определить электродинамические параметры (электрическая и магнитная проницаемость), электропроводимость; в томографии – по записям потока рентгеновских лучей нужно восстановить коэффициент поглощения исследуемого объекта и т. д.
Как видно из этих задач наряду с восстановлением волнового процесса необходимо также установить физические параметры этого процесса.
Отыскание переменных коэффициентов уравнений в частных производных имеет важное прикладное значение. Как правило, эти уравнения описывают физические процессы, а коэффициенты уравнений являются физическими характеристиками среды. Выделение одного решения из совокупности решений уравнений гиперболического типа с дополнительными условиями называют прямыми задачами. А нахождение переменных коэффициентов по дополнительной информации о решении прямой задачи называют обратными задачами уравнений гиперболического типа.
В монографии показано, что при небольших глубинах и при небольших ошибках данных вычисление обратных задач предложенным конечно-разностным регуляризованным методом является самым эффективным и при этом количество итераций будет наименьшим.
Основным методом исследования решения некоторых обратных задач гиперболического типа является конечно-разностный регуляризованный метод, который состоит из комбинации методов: линеаризации, выделения особенностей, проекционной, разностной и регуляризации.
Цель монографии заключается в численном методе решения двумерных обратных задач гиперболического типа, имеющих практическое значение в сейсмике, акустике и геоэлектрике; исследовании вопросов единственности и устойчивости приближенного решения прямых задач, в получении алгоритмов и их реализаций с помощью компьютера.
Основная проблема. При попытке приближенного решения обобщенных двумерных прямых задач, основным препятствием является наличие сингулярной компоненты у их решения. В данной монографии обобщенная прямая задача на основе методики В.Г. Романова сводится к регулярной задаче с данными на характеристиках, для решения которой применим конечно-разностный метод.
В попытке приближенного решении обобщенных, в смысле дельта функции, обратных задач гиперболического типа основными трудностями является, во-первых, их нелинейность относительно искомых функций, во-вторых, наличие сингулярной компоненты в решении прямых задач и, в-третьих, многомерность (в диссертации двухмерность) задачи.
В качестве основного объекта исследования выбраны различные постановки обратных задач гиперболического типа: сейсмики, акустики, геоэлектрики и термоупругости.
Научная новизна монографии исследований связана с численным решением задач гиперболического типа (путем введения комбинированных методов), как прямой, так и обратной, а именно:
- предложен новый подход к решению обратных задач гиперболического типа, применяемых в задачах сейсмики, акустики, геоэлектрики, термоупругости;
- автором предложен новый конечно-разностный регуляризованный метод для решения двумерно-линеаризованных обратных задач: сейсмики, акустики, геоэлектрики;
- для ряда одномерных обратных динамических задач гиперболического типа (сейсмики, акустики, телеграфа, термоупругости) получены оценки условной устойчивости конечно-разностного решения и показана сходимость к точному решению.
Научная значимость монографии. Доказаны и установлены:
• теоремы сходимости решения двумерных линеаризованных обратных задач сейсмики, акустики и геоэлектрики построенные конечно-разностным регуляризованным методом;
• теоремы условной устойчивости для цикла одномерных обратных задач уравнений гиперболического типа;
• теорема о восстановлении функции в математической модели смещения почв при землетрясении, описывающая уравнением Вольтерра первого рода, и его конечно-разностное регуляризованное решение;
• теорема условной устойчивости одномерной обратной задачи термоупругости и ее численное решение.
Практическая значимость монографии. Разработанный метод решения прямых и обратных задач и ее математическое обеспечение в виде комплекса программ могут найти применение в решении практических задач сейсмики, акустики, термоупругости, геофизики, электродинамики и т.д.
Структура и объем монографии. Она изложена на 143 страницах и состоит из списока обозначений, предсловия – введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 162 наименований.
В монографии впервые:
1. Автором разработан новый конечно-разностный регуляризованный метод, который состоит из комбинации методов линеаризации, выделения особенностей, проекционного, разностного и регуляризации.
На основе этого метода решены различные постановки двумерно- линеаризованных обратных задач гиперболического типа: сейсмики, акустики, геоэлектрики.
2. Построен приближенный метод решения, на основе сочетания методов выделения особенностей и разностного, одномерных обратных задач волновых процессов: сейсмики, акустики, геоэлектрики, термоупругости, телеграфной.
3. Восстановлен функции в математической модели смещения почв при землетрясении, описывающая уравнением Вольтерра первого рода, и его конечно-разностное регуляризованное решение.
МЕДАЛЬ «ЗА ВЕРНОСТЬ ТРАДИЦИЯМ ОТЕЧЕСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ» С УДОСТОВЕРЕНИЕМ