XLVII международная выставка-презентация
научных, технических, учебно-методических и литературно-художественных изданий

Конечно-разностное регуляризованное решение обратных задач гиперболического типа


ГруппаНаучная литература
Область науки
Технические науки
Название на русском языкеКонечно-разностное регуляризованное решение обратных задач гиперболического типа
Авторы на русском языкеСатыбаев А.Дж.
Вид издания на русском языкеМонография
Издательство на русском языкеОш: ОшОблТипография, 2001. - 143 с.

Резюме

Актуальность. Обратные задачи уравнений гиперболического типа возникают в прикладных задачах математического моделирования, физики и техники, геофизики (сейсмической, электромагнитной и гравитационной разведки полезных ископаемых), астрофизики, квантовой механики, акустики, геоэлектрики и др. и относятся к некорректным задачам. Обратные задачи относятся к некорректным задачам и решение некорректных задач требуют особых методов решения. Основы теории некорректных задач заложены А.Н. Тихоновым, М.М. Лаврентьевым и В. К. Ивановым.

Характерная особенность обратных задач состоит в некорректности, т.е. в нарушении одного из следующих условий: существование, единственность и устойчивость решения. Существование решения обратных задач вытекает из происхождения физического процесса, в связи с этим обычно обосновываются единственность и, особенно, устойчивость решений таких задач.

Восстановление происхождения волновых процессов является одной из важных практических задач. Такие проблемы возникают в сейсмике, геофизике, геоэлектрике, астрофизике, компьютерной томографии и других прикладных задачах.

Например, в геофизике по данным режима волновых процессов свободной поверхности требуется найти внутреннее строение среды, т.е. параметры упругих сред; в сейсмике – по показаниям сейсмограмм нужно определить скорость распространения волн, плотность среды, упругие параметры; в акустике – по фиксированным акустическим приборам необходимо установить плотность тела; в геоэлектрике по наблюдениям за компонентами электромагнитного поля на границе требуется определить электродинамические параметры (электрическая и магнитная проницаемость), электропроводимость; в томографии – по записям потока рентгеновских лучей нужно восстановить коэффициент поглощения исследуемого объекта и т. д.

Как видно из этих задач наряду с восстановлением волнового процесса необходимо также установить физические параметры этого процесса.

Отыскание переменных коэффициентов уравнений в частных производных имеет важное прикладное значение. Как правило, эти уравнения описывают физические процессы, а коэффициенты уравнений являются физическими характеристиками среды. Выделение одного решения из совокупности решений уравнений гиперболического типа с дополнительными условиями называют прямыми задачами. А нахождение переменных коэффициентов по дополнительной информации о решении прямой задачи называют обратными задачами уравнений гиперболического типа.

В монографии показано, что при небольших глубинах и при небольших ошибках данных вычисление обратных задач предложенным конечно-разностным регуляризованным методом является самым эффективным и при этом количество итераций будет наименьшим.

Основным методом исследования решения некоторых обратных задач гиперболического типа является конечно-разностный регуляризованный метод, который состоит из комбинации методов: линеаризации, выделения особенностей, проекционной, разностной и регуляризации.

Цель монографии заключается в численном методе решения двумерных обратных задач гиперболического типа, имеющих практическое значение в сейсмике, акустике и геоэлектрике; исследовании вопросов единственности и устойчивости приближенного решения прямых задач, в получении алгоритмов и их реализаций с помощью компьютера.

Основная проблема. При попытке приближенного решения обобщенных двумерных прямых задач, основным препятствием является наличие сингулярной компоненты у их решения. В данной монографии обобщенная прямая задача на основе методики В.Г. Романова сводится к регулярной задаче с данными на характеристиках, для решения которой применим конечно-разностный метод.

В попытке приближенного решении обобщенных, в смысле дельта функции, обратных задач гиперболического типа основными трудностями является, во-первых, их нелинейность относительно искомых функций, во-вторых, наличие сингулярной компоненты в решении прямых задач и, в-третьих, многомерность (в диссертации двухмерность) задачи.

В качестве основного объекта исследования выбраны различные постановки обратных задач гиперболического типа: сейсмики, акустики, геоэлектрики и термоупругости.

Научная новизна монографии исследований связана с численным решением задач гиперболического типа (путем введения комбинированных методов), как прямой, так и обратной, а именно:

- предложен новый подход к решению обратных задач гиперболического типа, применяемых в задачах сейсмики, акустики, геоэлектрики, термоупругости;

- автором предложен новый конечно-разностный регуляризованный метод для решения двумерно-линеаризованных обратных задач: сейсмики, акустики, геоэлектрики;

- для ряда одномерных обратных динамических задач гиперболического типа (сейсмики, акустики, телеграфа, термоупругости) получены оценки условной устойчивости конечно-разностного решения и показана сходимость к точному решению.

Научная значимость монографии. Доказаны и установлены:

• теоремы сходимости решения двумерных линеаризованных обратных задач сейсмики, акустики и геоэлектрики построенные конечно-разностным регуляризованным методом;

• теоремы условной устойчивости для цикла одномерных обратных задач уравнений гиперболического типа;

• теорема о восстановлении функции в математической модели смещения почв при землетрясении, описывающая уравнением Вольтерра первого рода, и его конечно-разностное регуляризованное решение;

• теорема условной устойчивости одномерной обратной задачи термоупругости и ее численное решение.

Практическая значимость монографии. Разработанный метод решения прямых и обратных задач и ее математическое обеспечение в виде комплекса программ могут найти применение в решении практических задач сейсмики, акустики, термоупругости, геофизики, электродинамики и т.д.

Структура и объем монографии. Она изложена на 143 страницах и состоит из списока обозначений, предсловия – введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 162 наименований.

В монографии впервые:

1. Автором разработан новый конечно-разностный регуляризованный метод, который состоит из комбинации методов линеаризации, выделения особенностей, проекционного, разностного и регуляризации.

На основе этого метода решены различные постановки двумерно- линеаризованных обратных задач гиперболического типа: сейсмики, акустики, геоэлектрики.

2. Построен приближенный метод решения, на основе сочетания методов выделения особенностей и разностного, одномерных обратных задач волновых процессов: сейсмики, акустики, геоэлектрики, термоупругости, телеграфной.

3. Восстановлен функции в математической модели смещения почв при землетрясении, описывающая уравнением Вольтерра первого рода, и его конечно-разностное регуляризованное решение.

Комментарии

Издание "Конечно-разностное регуляризованное решение обратных задач гиперболического типа" (Сатыбаев А.Дж.) отмечено наградой
ОРДЕНОМ «АЛЕКСАНДР ВЕЛИКИЙ» С УДОСТОВЕРЕНИЕМ ЛАУРЕАТА